Guessing game con spiegazione

I guessing game sono spesso eseguiti da illusionisti o da matematici e consistono nell'indovinare un numero che scegliete voi.
Durante il gioco,il matematico o l'illusionista vi chiede di scegliere un numero e di effettuare alcune operazioni algebriche intermedie (ad esempio somme,prodotti,divisioni etc),il matematico o l'illusionista tramite il risultato finale di queste operazioni sul numero scelto,risale in maniera univoca al numero che avete scelto.

Naturalmente lo spettatore a cui fate il gioco ha la percezione che le operazioni che sta facendo (di cui l'illusionista/matematico non conosce i risultati) siano assolutamente poco indicative e che dare il risultato finale di tali operazioni non è sufficiente a capire il numero che avete scelto.

L'illusionista a questo punto vi stupisce dicendo esattamente il numero che avete scelto.

Adesso vi presento un guessing game e vi darò la spiegazione sia con una regola pratica,sia con una dimostrazione.

Scegliete un numero tra i numeri 8 e 9..
Moltiplicate il numero scelto per un numero dispari a piacere.
Moltiplicate il risultato precedente con un numero pari a piacere.
Sommate il primo e secondo risultato del prodotto.

Da questo risultato riuscirete a capire esattamente quale tra i due numeri lo spettatore ha scelto.

Prima di passare alla spiegazione del trucco e alla dimostrazione matematica vi voglio fare due esempi per chiarire eventuali dubbi.

Esempio 1
Scegliamo il numero 8.
Moltiplichiamo 8*13=104
Moltiplichiamo 104*6=624
Sommiamo 104+624=728

Esempio 2
Scegliamo il numero 9
Moltiplichiamo 9*27=243
Moltiplichiamo 243*10=2430
Sommiamo 243+2430=2673

Se notate,nei due esempi,la somma finale (che dovete chiedere allo spettatore),quando abbiamo scelto 8 è risultata pari,quando abbiamo scelto 9 è risultata dispari e questo come dimostrerò in seguito non è casuale.

Quindi la regola pratica per sapere quale numero lo spettatore ha scelto basta vedere se la somma finale (che voi conoscete) è pari o è dispari
Se la somma è pari allora lo spettatore ha scelto 8
Se la somma è dispari allora lo spettatore ha scelto 9

Passiamo alla parte matematica.

Chiamiamo a il numero scelto dallo spettatore,m il numero dispari ed n il numero pari,con a,m,n appartenenti all'insieme dei numeri Naturali e con a che può assumere valore 8 o valore 9.

Procediamo cercando di creare l'operazione tra questi numeri procedendo secondo l'ordine prefissato e facendo di volta in volta delle dovute considerazioni.

Moltiplichiamo a*m
Poichè m è un numero dispari allora m=2k+1,quindi a*m=a*(2k+1)
Sviluppando il prodotto a*(2k+1) otteniamo 2ak+a,quindi a*m=2ak+a

a*m=2ak+a lo chiamiamo p1 (perchè chiamarlo Paperino lo avrebbe reso ridicolo)

Moltiplichiamo il risultato ottenuto per n ottentendo (2ak+a)*n
Sviluppando il prodotto (2ak+a)*n otteniamo 2ank+2an

2ank+2an lo chiamiamo p2 (perchè ci piace così)

Sommiamo p1+p2 ottenendo così

2ak+a+2ank+2an.

Se osservate adesso il seguente polinomio,potete notare che possiamo "raccogliere il termine 'a' a fattor comune".
Utilizzando la legge distributiva "raccogliamo il termine 'a' a fattor comune" ottenendo
2ak+a+2ank+2an=a*(2k+1+2nk+2n)

Utilizzando ancora la legge distributiva nel polinomio interno possiamo affermare
a*(2k+1+2nk+2n)=a*(2k+1 +2(nk+n))

Guardate adesso i termini del polinomio come sono diventati,vi ricorda qualcosa?
2k+1 è sicuramente un termine dispari e lo indicheremo con D,2(nk+n) è sicuramente un termine pari(perchè è multiplo di due ;)) e lo indicheremo con P.
Quindi
a*(2k+1 +2(nk+n))=a*(D+P).

Dall'osservazione che un numero pari sommato ad un numero dispari da sempre un numero dispari,che chiamiamo D per comodità,otteniamo

a*D.
In sostanza a moltiplica un numero dispari!!
Se a è pari,allora a*D è sicuramente pari

se a è dispari allora a*D è sicuramente dispari.
Ed è esattamente quello che volevamo verificare!.

Questa piccola dimostrazione ci dice inoltre che 8 e 9 non sono gli unici numeri per cui vale la regola pratica descritta sopra,basta prendere un numero pari e un numero dispari e fare sempre colpo!

Spero che vi siate divertiti e che possiate meravigliare qualche vostro amico con questo giochino anche se non conoscete la dimostrazione ;).
Have fun