Teoria degli insiemi e antinomia di Russel

In questo post vi parlerò della teoria degli insiemi e della famosa antinomia di Russel.

La teoria che vi illustrerò in parte è chiamata anche teoria "ingenua" degli insiemi.
La teoria,è chiamata "ingenua" appunto perchè presenta delle debolezze e delle ambiguità dovute alla sua "libertà".

Nella teoria degli insiemi,l'elemento chiave è appunto l'insieme (altrimenti l'avrebbero chiamata teoria del ravanello o che so io..).

La struttura di insieme non viene definita e l'insieme viene considerato un concetto primitivo.
Altri esempi di concetti primitivi sono il punto,la retta o il piano nella geometria Euclidea.

Un insieme viene espresso,solitamente,con le lettere maiuscole dell'alfabeto ad esempio A,B,C mentre gli elementi di un insieme con le lettere minuscole dell'alfabeto ad esempio a,b,c.

Se l'elemento a fa parte dell'insieme A si dice che a appartiene ad A.

Un insieme può essere espresso nel seguente modo:
A={1,2,3,4,5,6}
Tale modo di rappresentare un insieme si dice rappresentazione "esplicita" di un insieme.
L'insieme A contiene come elementi i numeri 1,2,3,4,5,6.

La maggiore "libertà" di questa teoria (che poi ci porterà alla antinomia) è dovuta al fatto che un insieme può contenere elementi di natura arbitraria,ed anche di natura diversa tra di loro:potremmo per esempio costruire un insieme che ha come elementi il numero 5, la città di Milano e il concetto astratto di amore.

Per arrivare alla antinomia di Russel voglio mostrarvi alcuni insiemi che contengono altri insiemi.

1)
Facciamo prima un esempio di un insieme che contiene se stesso.
Costruiamo l'insieme A i cui elementi sono gli insiemi che contengono più di due elementi.
Ovviamente l'insieme A è infinito dato che ci sono infiniti insiemi che contengono più di due elementi,proviamo ad elencare qualche elemento di A in modo esplicito.

A={{2,3,!};{k,a,b};{sM,ciao,<};......}

Dato che A contiene più di due elementi,A contiene anche se stesso,quindi A è contenuto in A (lo so che è strano ma è così).

2)
Adesso facciamo un esempio di un insieme che NON contiene se stesso.
Costruiamo l'insieme A i cui elementi sono gli insiemi che contengono 1 solo elemento.
A,come nell'esempio precedente, è infinito.
Diamo qualche esempio di elemento in A.

A={{1};{=};{L};{7};.......}
Dato che A contiene più di un elemento,A NON contiene se stesso.

Fatti questi due esempi adesso costruiamo il seguente insieme A e cercheremo di capire se A contiene se stesso oppure no.

Costruiamo l'insieme A i cui elementi sono gli insiemi che NON contengono se stessi.
Per fare qualche esempio.

A={{B};{S};....}

Adesso quello che ci chiediamo è "A è contenuto in A oppure non è contenuto in A?".
E' chiaro che A non può essere contenuto in A perchè altrimenti si andrebbe in contraddizione con la frase che ci permette di costruire gli insiemi (ricordiamoci ci che gli elementi sono gli insiemi che NON contengono se stessi)
Ma se A non contiene se stesso,allora dovrebbe essere da qualche parte nell'elenco degli elementi e ricadiamo nuovamente nell'errore di sopra.

Come abbiamo appena visto,A contiene A e contemporaneamente A non contiene A e questo genera una antinomia.

La letteratura matematica ci fornisce esempi più o meno concreti di Antinomie.
L'esempio tipico è quello del barbiere che avete visto nel link di wikipedia sull'antinomia di Russel.