Quanti triangoli ci sono?

Questo è un tipico problema logico in cui bisogna contare TUTTI i triangoli presenti nella figura.
Ho rotto così tanto le scatole ai prof e ai miei colleghi con questo problema da farmi appioppare l'appellativo di "l'uomo dei triangoli" dal professore di matematica discreta.

Alcuni esempi di queste figure sono queste.
Allora,quanti triangoli riuscite a vedere?

Ovviamente una persona come me non si accontenta di sapere quanti triangoli ci sono in figure specifiche ma cerca regolarità e generalizzazioni al problema posto.

La generalizzazione in questo caso può essere la seguente:
Come variano i triangoli al variare dell'altezza del triangolo più grande?
E' possibile dare una formula generica in base all'altezza?

In termini più matematici l'ultima domanda può essere formulata nel modo seguente:
E' possibile risalire alla funzione f:N->N (dove N è l'insieme dei numeri naturali) a partire da considerazioni fatte su alcuni casi specifici?
Dopo qualche periodo di riflessione ho posto il problema al mio collega Fabio D'Asaro che,dopo pochi secondi elabora una soluzione al problema.
Fabio,ha notato che il numero di triangoli di lato 1 con la punta verso l'alto è la sommatoria dei primi n numeri.
Quindi nella prima figura i triangoli verso l'alto sono 4+3+2+1.una volta contati i triangoli di lato uno con la punta verso l'alto contiamo quelli di lato uno con la punta verso il basso e si può notare che questi sono la sommatoria dei primi n/2 numeri (arrotondato per difetto).

Dopo avere presentato il risultato al professore di matematica discreta,egli mi mostra questo risultato in cui è mostrata una formula molto più compatta della formula trovata da Fabio.
Invece qui potete travare i primi valori della sequenza numerica con riferimenti a libri
Ovviamente la formula riportata su mathword.wolfram è il modo più semplice per sapere quanti triangoli ci sono,in base all'altezza.